Версия для печати
Убрать все задачи

---

В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса.
Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в ¹/₂₀ всех экскурсий.

   Решение

---

а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

   Решение

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97936  [Обмены квартир]

Темы:   [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Композиции симметрий ] [ Группа перестановок ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

В некотором городе разрешаются только парные обмены квартир (если две семьи обмениваются квартирами, то в тот же день они не имеют права участвовать в другом обмене). Докажите, что любой сложный обмен квартирами можно осуществить за два дня.
(Предполагается, что при любых обменах каждая семья как до, так и после обмена занимает одну квартиру, и что семьи при этом сохраняются).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66895

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

а) У Тани есть 4 одинаковые с виду гири, массы которых равны 1000, 1002, 1004 и 1005 г (неизвестно, где какая), и чашечные весы (показывающие, какая из двух чаш перевесила или что имеет место равенство). Может ли Таня за 4 взвешивания гарантированно определить, где какая гиря? (Следующее взвешивание выбирается по результатам прошедших.)

б) Тот же вопрос, если у весов левая чашка на 1 г легче правой, так что весы показывают равенство, если масса на левой чашке на 1 г больше, чем на правой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66896

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

При каких натуральных $n$ найдутся $n$ последовательных натуральных чисел, произведение которых равно сумме (может быть, других) $n$ последовательных натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66897

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Как известно, квадратное уравнение имеет не более двух корней. А может ли уравнение $[x^2] + px + q = 0$ при $p \ne 0$ иметь более 100 корней? ($[x^2]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $x^2$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66900

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В комнате находится несколько детей и куча из 1000 конфет. Дети по очереди подходят к куче. Каждый подошедший делит количество конфет в куче на количество детей в комнате, округляет (если получилось нецелое), забирает полученное число конфет и выходит из комнаты. При этом мальчики округляют вверх, а девочки – вниз. Докажите, что суммарное количество конфет у мальчиков, когда все выйдут из комнаты, не зависит от порядка детей в очереди.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 171 172 173 174 175 176 177 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями