Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

   Решение

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67053

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Докажите для любых натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ неравенство  $\bigg\lfloor\frac{a_1^2}{a_2}\bigg\rfloor + \bigg\lfloor\frac{a_2^2}{a_3}\bigg\rfloor + ... + \bigg\lfloor\frac{a_n^2}{a_1}\bigg\rfloor \geqslant a_1 + a_2 + ... +a_n$.  ([$x$] – целая часть числа $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67059

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что  ∠$PDA$ = ∠$PBA$.  Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67061

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
  а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
  б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67076

Темы:   [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где  $n$ > 1.  Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $\frac{x}{y}$ при данном $n$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67077

Тема:   [ Взвешивания ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все медали из одного металла должны весить одинаково, а из разных должны иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела неправильную массу. При этом нестандартная золотая медаль может весить только меньше стандартной золотой, бронзовая – только больше стандартной бронзовой, а серебряная может отличаться по весу от стандартной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти нестандартную медаль?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 274 275 276 277 278 279 280 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями