- осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс (5 задач)
- осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс (5 задач)
- осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс (7 задач)
- осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс (7 задач)
- весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс (5 задач)
- весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс (5 задач)
- весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс (7 задач)
- весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс (7 задач)
- устный тур (6 задач)
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
a) K = 7; б) K = 10?
Петя и Вася играют в такую игру. Сначала на столе лежит 11 кучек по 10 камней. Игроки ходят по очереди, начинает Петя. Каждым ходом игрок берёт 1, 2 или 3 камня, но Петя каждый раз выбирает все камни из любой одной кучки, а Вася всегда выбирает все камни из разных кучек (если их больше одного). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из игроков может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?
Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?
Внутри параллелограмма ABCD взята такая точка P, что ∠PDA = ∠PBA. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника PAB, лежащая против вершины A, а ω – вписанная окружность треугольника PCD. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна AD.
У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?
а) Докажите, что если в 3n клетках таблицы 2n×2n расставлены 3n звёздочек, то можно вычеркнуть n столбцов и n строк так, что все звёздочки будут вычеркнуты.
б) Докажите, что в таблице 2n×2n можно расставить 3n + 1 звёздочку так, что при вычеркивании любых n строк и любых n столбцов остаётся невычеркнутой хотя бы одна звёздочка.
Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек n + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.
У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]
Задача 67165 |
|
|
У N друзей есть круглая пицца. Разрешается провести не более 100 прямолинейных разрезов, не перекладывая части до окончания разрезаний, после чего распределить все получившиеся кусочки между всеми друзьями так, чтобы каждый получил суммарно одну и ту же долю пиццы по площади. Найдутся ли такие разрезания, если а) N = 201; б) N = 400?
|
|
Решение |
Задача 67181 |
|
|
На сторонах равностороннего треугольника ABC построены во внешнюю сторону треугольники AB′C, CA′B, BC′A так, что получился шестиугольник AB′CA′BC′, в котором каждый из углов A′BC′, C′AB′, B′CA′ больше 120∘, а для сторон выполняются равенства AB′=AC′, BC′=BA′, CA′=CB′. Докажите, что из отрезков AB′, BC′, CA′ можно составить треугольник.
|
|
Решение |
Задача 67185 |
|
|
Периметр треугольника ABC равен 1. Окружность ω касается стороны BC, продолжения стороны AB в точке P и продолжения стороны AC в точке Q. Прямая, проходящая через середины AB и AC, пересекает описанную окружность треугольника APQ в точках X и Y. Найдите длину отрезка XY.
|
|
|
Решение |
Задача 67187 |
|
|
Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.
|
|
|
Решение |
Задача 67199 |
|
|
Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 51]
