Версия для печати
Убрать все задачи

---

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

   Решение

---

На каждой клетке доски 5×5 лежит по одной монете, все монеты внешне одинаковы. Среди них ровно 2 монеты фальшивые, они одинакового веса и легче настоящих, которые тоже весят одинаково. Фальшивые монеты лежат в клетках, имеющих ровно одну общую вершину. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах без гирь гарантированно найти а) 13 настоящих монет; б) 15 настоящих монет; в) 17 настоящих монет?

   Решение

---

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены

a) на плоскости;

б) в пространстве?

   Решение

Страница: << 356 357 358 359 360 361 362 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67263

Темы:   [ Теорема косинусов ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Даны пять точек, расстояние между любыми двумя из них больше 2. Верно ли, что расстояние между какими-то двумя из них больше 3, если эти 5 точек расположены

a) на плоскости;

б) в пространстве?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67268

Тема:   [ Отношение порядка ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67269

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Пусть X – некоторое множество целых чисел, которое можно разбить на N непересекающихся возрастающих арифметических прогрессий (бесконечных в обе стороны), а меньше чем на N – нельзя. Для любого ли такого X такое разбиение на N прогрессий единственно, если а) N = 2; б) N = 3?

(Возрастающая арифметическая прогрессия – это последовательность, в которой каждое число больше своего соседа слева на одну и ту же положительную величину.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67293

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Существует ли описанный 2021-угольник, все вершины и центр вписанной окружности которого имеют целочисленные координаты?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67298

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Геометрическая прогрессия ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Назовём рассадку $N$ кузнечиков на прямой в различные её точки $k$-удачной, если кузнечики, сделав необходимое число ходов по правилам чехарды, могут добиться того, что сумма попарных расстояний между ними уменьшится хотя бы в $k$ раз. При каких $N\geqslant2$ существует рассадка, являющаяся $k$-удачной сразу для всех натуральных $k$? (В чехарде за ход один из кузнечиков прыгает в точку, симметричную ему относительно другого кузнечика.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 356 357 358 359 360 361 362 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями