Каталог по источникам

Выбрано 9 задач

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD ( S – вершина) сторона основания равна 4 , высота пирамиды SH равна 8. SE – апофема пирамиды, лежащая в грани ASD . Через точку C перпендикулярно прямой SE проходит плоскость, которая пересекает отрезок SH в точке O . Точки P и Q расположены на прямых SE и CB соответственно, причём прямая PQ касается сферы радиуса с центром в точке O . Найдите наименьшую длину отрезка PQ .

Решение

Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник ABCDEF , а её боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания. Расстояния от точек B и C до прямой SD равны соответственно и . а) Чему равна площадь треугольника ASD ? б) Найдите отношение наименьшей из площадей треугольных сечений пирамиды, проходящих через ребро SD , к площади треугольника ASD .

Решение

Дана геометрическая прогрессия, знаменатель которой — целое число (не равное 0 и -1). Докажите, что сумма любого числа произвольно выбранных её членов не может равняться никакому члену этой прогрессии.

Решение

Докажите, что cos 2 $\alpha$ + cos 2 $\beta$ - cos 2 $\gamma$ $\leq$ 3/2.

Решение

В семье шестеро детей. Пятеро из них соответственно на 2, 6, 8, 12 и 14 лет старше младшего, причём возраст каждого ребенка – простое число.
Сколько лет младшему?

Решение

Автор: Фольклор

Доказать, что существует бесконечно много таких пар (a, b) натуральных чисел, что a² + 1 делится на b, а b² + 1 делится на a.

Решение

Из медиан треугольника с углами $\alpha$ , $\beta$ и $\gamma$ составлен треугольник с углами $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ и $\gamma_{m}^{}$ (угол $\alpha_{m}^{}$ лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если $\alpha$ > $\beta$ > $\gamma$ , то $\alpha$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\alpha$ > $\beta_{m}^{}$ , $\gamma_{m}^{}$ > $\beta$ > $\alpha_{m}^{}$ , $\beta_{m}^{}$ > $\gamma$ и $\gamma_{m}^{}$ > $\gamma$ .

Решение

Поместить в полый куб с ребром a три цилиндра диаметра ${\frac{a}{2}}$ и высоты a так, чтобы они не могли менять своего положения внутри куба.

Решение

Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом: a₁ — произвольное трёхзначное число, a₂ — сумма квадратов его цифр, a₃ — сумма квадратов цифр числа a₂ и т.д. Докажите, что в последовательности a₁, a₂, a₃, ...обязательно встретится либо 1, либо 4.

Решение

Задача 77965

Задача 77966

Задача 77960

Задача 77948

Задача 77963