Каталог по источникам

Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]

Задача 78178 (#1)

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Арифметические действия. Числовые тождества	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Имеется 1959 положительных чисел a₁, a₂..., a₁₉₅₉, сумма которых равна 1. Рассматриваются всевозможные комбинации из 1000 чисел, причём комбинации считаются совпадающими, если они отличаются только порядком чисел. Для каждой комбинации рассматривается произведение входящих в неё чисел. Доказать, что сумма всех этих произведений меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78175 (#2)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Правило произведения	]

Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10

Заметим, что если перевернуть лист, на котором написаны цифры, то цифры 0, 1, 8 не изменятся, 6 и 9 поменяются местами, остальные потеряют смысл. Сколько существует девятизначных чисел, которые при переворачивании листа не изменяются?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78179 (#3)

Темы:	[	Окружности (построения)	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Построить окружность, проходящую через две данные точки и отсекающую от данной окружности хорду данной длины.

Прислать комментарий Решение

Задача 78180 (#4)

Темы:	[	Правило произведения	]
Темы:	[	Задачи с ограничениями	]

Сложность: 3-
Классы: 10,11

Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть P_k – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что P_k·3^–k < 2 для любого k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78181 (#5)

Темы:	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
Темы:	[	Тетраэдр и пирамида (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Доказать, что не существует тетраэдра, в котором каждое ребро являлось бы стороной плоского тупого угла.

Прислать комментарий Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]