Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Московская математическая олимпиада
>>
1962 год
>>
7 класс, 1 тур
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Доказать, что число всех цифр в последовательности 1, 2, 3,..., 10k равно числу всех нулей в последовательности 1, 2, 3,..., 10k + 1.
Каждая грань куба заклеивается двумя равными прямоугольными треугольниками с общей гипотенузой, один из которых белый, другой — чёрный. Можно ли эти треугольники расположить так, чтобы при каждой вершине куба сумма белых углов была равна сумме чёрных углов?
Существует ли такое натуральное x, что x² + x + 1 делится на 1985?
Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.
Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?
В каком из выражений: (1 – x² + x³)1000, (1 + x² – x³)1000 после раскрытия скобок и приведения подобных членов больший коэффициент при x20?
Улитка ползёт по плоскости с постоянной скоростью, каждые 15 минут поворачивая под прямым углом.
Докажите, что вернуться в исходную точку она сможет лишь через целое число часов.
На листе прозрачной бумаги нарисован четырёхугольник. Укажите способ, как сложить этот лист (возможно, в несколько раз), чтобы определить, является ли исходный четырёхугольник ромбом.
Существует ли плоский четырехугольник, у которого тангенсы всех внутренних углов равны?
Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых
AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.
Найти все действительные решения системы
x³ + y³ = 1,
x4 + y4 = 1.
Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда ax² + bx + c = (dx + e)².
Дан
ABC и точка D внутри него, причем AC - DA > 1 и BC - BD > 1. Берётся
произвольная точка E внутри отрезка AB. Доказать, что EC - ED > 1.
Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если S(a) = S(2a), то число a делится на 9.
Задачи Страница: 1 [Всего задач: 4]
Задача 78273 (#1) |
|
|
Дана прямая l, перпендикулярная отрезку AB и пересекающая его. Для любой
точки M прямой l строится такая точка N, что
NAB = 2
MAB;
NBA = 2
MBA. Доказать, что абсолютная величина разности AN - BN не
зависит от выбора точки M на прямой l.
|
|
Решение |
Задача 78274 (#2) |
|
|
Правильный треугольник, одна сторона которого отмечена, отражается симметрично относительно одной из своих сторон. Полученный треугольник в свою очередь отражается и т.д., пока на некотором шаге треугольник не придёт в первоначальное положение. Доказать, что при этом отмеченная сторона также займёт исходное положение.
|
|
|
Решение |
Задача 78276 (#4) |
|
|
Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если S(a) = S(2a), то число a делится на 9.
|
|
Решение |
Задача 78277 (#5) |
|
|
Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 [Всего задач: 4]
