Версия для печати
Убрать все задачи

---

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

   Решение

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116840

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ] [ Обратный ход ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97774

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

N друзей одновременно узнали N новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями.
Каждый разговор длится 1 час. За один разговор можно передать сколько угодно новостей.
Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? Рассмотрите три случая:
  а)  N = 64,
  б)  N = 55,
  в)  N = 100.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97793

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Правильный тетраэдр ] [ Линейные зависимости векторов ]

Сложность: 5+ Классы: 10,11

а) Из произвольной точки M внутри правильного n-угольника проведены перпендикуляры  MK₁, MK₂, ..., MK_n  к его сторонам (или их продолжениям). Докажите, что      (O – центр n-угольника).

б) Докажите, что сумма векторов, проведённых из любой точки M внутри правильного тетраэдра перпендикулярно к его граням, равна     где O – центр тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97794

Темы:   [ Топология ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Марсианское метро на плане имеет вид замкнутой самопересекающейся линии, причём в одной точке может происходить только одно самопересечение. (Линия нигде не касается сама себя.) Доказать, что тоннель с таким планом можно прорыть так, что поезд будет проходить попеременно под и над пересекающей линией.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97805

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями