Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67194

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими?

Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67497

Темы:   [ Покрытия ] [ Системы линейных уравнений ] [ Приближения чисел ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму единичного круга. Всегда ли можно вбить в стол несколько точечных гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём одинаковым количеством гвоздей? (Вбивать гвозди на границы кругов запрещено.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67603

Темы:   [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Дано натуральное $k$. На столе по кругу лежат $n$ внешне одинаковых монет массами $1$, $2$, $\ldots$, $n$ г. Вам известно, что эти массы идут по порядку, но неизвестно, по часовой стрелке или против, и с какого места начинаются. Барон Мюнхгаузен утверждает, что вы можете сделать $k$ взвешиваний на чашечных весах без гирь так, чтобы по их результатам гарантированно определить массу хотя бы одной монеты. При каком наибольшем $n$ слова барона будут правдой? (На каждую чашу помещается сколько угодно монет.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97806

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Алгоритм Евклида ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 365 366 367 368 369 370 371 [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями