Версия для печати
Убрать все задачи

---

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_n.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98095  (#1)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108052  (#2)

Темы:   [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дана фиксированная хорда MN окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB этой окружности, не проходящего через точки M и N, рассмотрим точку C, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведём через неё прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98097  (#3)

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Основные свойства центра масс ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_n.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98098  (#4)

Темы:   [ Окружности на сфере ] [ Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Разные задачи на разрезания ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На сфере отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на большой окружности (большая окружность – это окружность, по которой пересекаются сфера и плоскость, проходящая через её центр). Две большие окружности, не проходящие через отмеченные точки, называются эквивалентными, если одну из них с помощью непрерывнвого перемещения по сфере можно перевести в другую так, что в процессе перемещения окружность не проходит через отмеченные точки.
  а) Сколько можно нарисовать окружностей, не проходящих через отмеченные точки и не эквивалентных друг другу?
  б) Та же задача для n отмеченных точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98099  (#5)

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Степень вершины ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

В королевстве 16 городов. Король хочет построить такую систему дорог, чтобы из каждого города можно было попасть в каждый, минуя не более одного промежуточного города, и чтобы из каждого города выходило не более пяти дорог.
  а) Докажите, что это возможно.
  б) Докажите, что если в формулировке заменить число 5 на число 4, то желание короля станет неосуществимым.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями