Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 19 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.

Вниз   Решение


Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
  а)  h = 17 см;
  б)  h = 18 см?

ВверхВниз   Решение


Углы AOB и COD совмещаются поворотом так, что луч OA совмещается с лучом OC, а луч OB – с OD. В них вписаны окружности, пересекающиеся в точках E и F. Доказать, что углы AOE и DOF равны.

ВверхВниз   Решение


Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все медали из одного металла должны весить одинаково, а из разных должны иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела неправильную массу. При этом нестандартная золотая медаль может весить только меньше стандартной золотой, бронзовая – только больше стандартной бронзовой, а серебряная может отличаться по весу от стандартной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти нестандартную медаль?

ВверхВниз   Решение


Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
  а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
  б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?

ВверхВниз   Решение


Натуральные числа от 1 до 100 раскрашены в три цвета: 50 чисел – в красный, 25 чисел – в жёлтый и 25 – в зелёный. Известно, что все красные и жёлтые числа можно разбить на 25 троек так, чтобы в каждой тройке было два красных числа и одно жёлтое, которое больше одного красного и меньше другого. Аналогичное утверждение верно для красных и зелёных чисел. Обязательно ли все 100 чисел можно разбить на 25 четвёрок, в каждой из которых два красных числа, одно жёлтое и одно зелёное, при этом жёлтое и зелёное числа лежат между красными?

ВверхВниз   Решение


n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
  а) При каких n это возможно, если   m = 9?
  б) При каких n и m это возможно?

ВверхВниз   Решение


Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где  $n$ > 1.  Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $\frac{x}{y}$ при данном $n$.

ВверхВниз   Решение


На сферической планете с длиной экватора 1 планируют проложить N кольцевых дорог, каждая из которых будет идти по окружности длины 1. Затем по каждой дороге запустят несколько поездов. Все поезда будут ездить по дорогам с одной и той же положительной постоянной скоростью, никогда не останавливаясь и не сталкиваясь. Какова в таких условиях максимально возможная суммарная длина всех поездов? Поезда считайте дугами нулевой толщины, из которых выброшены концевые точки. Решите задачу в случаях:  а)  N = 3;  б)  N = 4.

ВверхВниз   Решение


Дано иррациональное число α,  0 < α < ½.  По нему определяется новое число α1 как меньшее из двух чисел 2α и  1 – 2α.  По этому числу аналогично определяется α2, и так далее.
  а) Докажите, что  αn < 3/16  для некоторого n .
  б) Может ли случиться, что  αn > 7/40  при всех натуральных n?

ВверхВниз   Решение


Автор: Анджанс А.

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

ВверхВниз   Решение


Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
  а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит его площадь пополам?
  б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.

  в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).

ВверхВниз   Решение


От правильного октаэдра со стороной 1 отрезали шесть углов – пирамидок с квадратным основанием и ребром ⅓. Получился многогранник, грани которого – квадраты и правильные шестиугольники. Можно ли копиями такого многогранника замостить пространство?

ВверхВниз   Решение


Существует ли такое натуральное число M, что никакое натуральное число, десятичная запись которого состоит лишь из нулей и не более чем 1988 единиц, не делится на M?

ВверхВниз   Решение


Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?

ВверхВниз   Решение


а) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце. Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 2×2, который тоже не приводится.

б) В таблице m×n расставлены знаки "+" и "–". За один ход разрешается поменять знаки на противоположные в любой строке или столбце или на любой диагонали (угловые клетки тоже считаются диагоналями). Докажите, что если таблица такими действиями не приводится к таблице из одних плюсов, то в ней есть квадрат 4×4, который тоже не приводится.

ВверхВниз   Решение


Каждому городу в некоторой стране присвоен индивидуальный номер. Имеется список, в котором для каждой пары номеров указано, соединены города с данными номерами железной дорогой или нет. Оказалось, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, но список по-прежнему будет верным. Верно ли, что, какие ни взять два номера M и N из списка, можно так перенумеровать города, что город с номером M получит номер N, город с номером N получит номер M, но список по-прежнему будет верным?

ВверхВниз   Решение


Автор: Юран А.Ю.

Правильный 100-угольник разрезали на несколько параллелограммов и два треугольника. Докажите, что эти треугольники равны.

ВверхВниз   Решение


Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



Задача 98203

Темы:   [ Метод координат на плоскости ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В вершинах квадрата сидят четыре кузнечика. Они прыгают в произвольном порядке, но не одновременно. Каждый кузнечик прыгает в такую точку, которая симметрична точке, в которой он находился до прыжка, относительно центра тяжести трёх других кузнечиков. Может ли в какой-то момент один кузнечик приземлиться на другого? (Кузнечики точечные.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 98213

Темы:   [ Подобие ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Пятиугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Существует ли такой выпуклый пятиугольник, от которого некоторая прямая отрезает подобный ему пятиугольник?

Прислать комментарий     Решение

Задача 107758

Темы:   [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Найдите наибольшее натуральное число, не оканчивающееся нулем, которое при вычеркивании одной (не первой) цифры уменьшается в целое число раз.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107759

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате клетчатой бумаги 10×10 нужно расставить один корабль 1×4, два – 1×3, три – 1×2 и четыре – 1×1. Корабли не должны иметь общих точек (даже вершин) друг с другом, но могут прилегать к границам квадрата. Докажите, что
  а) если расставлять их в указанном выше порядке (начиная с больших), то этот процесс всегда удается довести до конца, даже если в каждый момент заботиться только об очередном корабле, не думая о будущих;
  б) если расставлять их в обратном порядке (начиная с малых), то может возникнуть ситуация, когда очередной корабль поставить нельзя.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107770

Темы:   [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Системы линейных уравнений ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассматривается выпуклый четырёхугольник ABCD. Пары его противоположных сторон продолжены до пересечения: AB и CD – в точке P, CB и DA – в точке Q. Пусть lA, lB, lC и lD – биссектрисы внешних углов четырёхугольника при вершинах соответственно A, B, C, D. Пусть lP и lQ – внешние биссектрисы углов соответственно APD и AQB (то есть биссектрисы углов, дополняющих эти углы до развёрнутого). Обозначим через MAC точку пересечения lA и lC, через MBD – lB и lD, через MPQ – lP и lQ. Докажите, что, если все три точки MAC, MBD и MPQ существуют, то они лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 41]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .