В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиалиниями, принадлежащими k авиакомпаниям. Известно, что каждые две линии одной авиакомпании имеют общий конец. Докажите, что все города можно разбить на  k + 2  группы так, что никакие два города из одной группы не соединены авиалинией.

   Решение

Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE продолжили так, что образовалась пятиконечная звезда AHBKCLDMEN (рис.). Около треугольников — лучей звезды описали окружности. Докажите, что пять точек пересечения этих окружностей, отличных от A, B, C, D, E, лежат на одной окружности.

   Решение

На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими.
Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

   Решение

Найти геометрическое место центров прямоугольников, описанных около данного остроугольного треугольника.

   Решение

Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся окружностей проходит через точки их пересечения.

   Решение

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий

Решение

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  f_ij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f₁₄f₂₃ ≥ f₁₃f₂₄.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f₁₆f₂₅f₃₄ + f₁₅f₂₄f₃₆ + f₁₄f₂₆f₃₅ ≥ f₁₆f₂₄f₃₅ + f₁₅f₂₆f₃₄ + f₁₄f₂₅f₃₆.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]