Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Приведите пример вписанного четырехугольника с попарно различными целочисленными длинами сторон, у которого длины диагоналей, площадь и радиус описанной окружности — целые числа (Брахмагупта).

Вниз   Решение


Доказать, что в трапеции сумма углов при меньшем основании больше, чем при большем.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных  n > 1:  

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство   nn+1 > (n + 1)n  для натуральных  n > 2.

ВверхВниз   Решение


Дан четырёхугольник ABCD. Оказалось, что описанная окружность треугольника ABC, касается стороны CD, а описанная окружность треугольника ACD касается стороны AB. Докажите, что диагональ AC меньше, чем расстояние между серединами сторон AB и CD.

ВверхВниз   Решение


Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.

ВверхВниз   Решение


Даны числа $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, причём для всех натуральных нечётных n имеет место равенство

$\displaystyle \alpha_{1}^{n}$ + $\displaystyle \alpha_{2}^{n}$ + ... + $\displaystyle \alpha_{k}^{n}$ = 0.

Доказать, что те из чисел $ \alpha_{1}$,$ \alpha_{2}$,...,$ \alpha_{k}$, которые не равны нулю, можно разбить на пары таким образом, чтобы два числа, входящие в одну и ту же пару, были бы равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

ВверхВниз   Решение


Точки E, F – середины сторон BC, CD квадрата ABCD. Прямые AE и BF пересекаются в точке P. Докажите, что  ∠PDA = ∠AED.

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны три параллельные прямые.
Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей треугольников, вершины которых расположены (по одной) на этих прямых.

ВверхВниз   Решение


В стакане находятся бактерии. Через секунду каждая из бактерий делится пополам, затем каждая из получившихся бактерий через секунду делится пополам и так далее. Через минуту стакан полон. Через какое время стакан был заполнен наполовину?

ВверхВниз   Решение


Решите в натуральных числах уравнение  x² + y² = z².

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных n:  

ВверхВниз   Решение


Вычислите произведение  

ВверхВниз   Решение


x ≥ –1, n – натуральное число. Докажите, что   (1 + x)n ≥ 1 + nx.

ВверхВниз   Решение


Докажите неравенство для натуральных n:  

ВверхВниз   Решение


Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      



Задача 98344

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Раскладки и разбиения ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98331

Темы:   [ Четность перестановки ]
[ Обход графов ]
[ Перестройки ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Фомин С.В.

  а) Четыре порта 1, 2, 3, 4 расположены (в этом порядке) на окружности круглого острова. Их связывает плоская сеть дорог, на которых могут быть перекрёстки, то есть точки, где пересекаются, сходятся или разветвляются дороги. На всех участках дорог введено одностороннее движение так, что, выехав от любого порта или перекрёстка, нельзя вернуться в него снова. Пусть  fij  означает число различных путей, идущих из порта i в порт j. Докажите неравенство   f14f23f13f24.
  б) Докажите, что если портов шесть: 1, 2, 3, 4, 5, 6 (по кругу в этом порядке), то   f16f25f34 + f15f24f36 + f14f26f35f16f24f35 + f15f26f34 + f14f25f36.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107844

Темы:   [ Покрытия ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Параллельный перенос (прочее) ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .