Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 1956]      

Докажите, что диагонали AD, BE и CF описанного шестиугольника ABCDEF пересекаются в одной точке (Брианшон).

Прислать комментарий

Решение

Даны четыре окружности  S₁, S₂, S₃ и S₄, причем окружности S_i и S_{i + 1} касаются внешним образом для i = 1, 2, 3, 4 (S₅ = S₁). Докажите, что радикальная ось окружностей S₁ и S₃ проходит через точку пересечения общих внешних касательных к S₂ и S₄.

Прислать комментарий

Решение

а) Окружности S₁ и S₂ пересекаются в точках A и B. Степень точки P окружности S₁ относительно окружности S₂ равна p, расстояние от точки P до прямой AB равно h, а расстояние между центрами окружностей равно d. Докажите, что | p| = 2dh.
б) Степени точек A и B относительно описанных окружностей треугольников BCD и ACD равны p_a и p_b. Докажите, что  | p_a| S_BCD = | p_b| S_ACD.

Прислать комментарий

Решение

а) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся парой окружностей.
б) Докажите, что пучок окружностей полностью задаётся одной окружностью и радикальной осью.

Прислать комментарий

Решение

Пусть f (x, y) = x² + y² + a₁x + b₁y + c₁ и g(x, y) = x² + y² + a₂x + b₂y + c₂. Докажите, что для любого вещественного 1 уравнение f - g = 0 задаёт окружность из пучка окружностей, порождённого окружностями f = 0 и g = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 1956]