Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1956]

Задача 56947 (#05.097)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6
Классы: 9

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; l_a — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b, l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 56948 (#05.098)

Тема:

[

Прямая Симсона

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10,11

а) Докажите, что проекции точки P описанной окружности четырехугольника ABCD на прямые Симсона треугольников BCD, CDA, DAB и BAC лежат на одной прямой (прямая Симсона вписанного четырехугольника).
б) Докажите, что аналогично по индукции можно определить прямую Симсона вписанного n-угольника как прямую, содержащую проекции точки P на прямые Симсона всех (n - 1)-угольников, полученных выбрасыванием одной из вершин n-угольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 56949 (#05.099)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 3
Классы: 9

Пусть A₁, B₁ и C₁ - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A₁B₁C₁ называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC. Докажите, что B₁C₁ = BC^.AP/2R, где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56950 (#05.100)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прямые AP, BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A₂, B₂ и C₂; A₁B₁C₁ — подерный треугольник точки P относительно треугольника ABC (см. задачу 5.99). Докажите, что $\triangle$ A₁B₁C₁ $\sim$ $\triangle$ A₂B₂C₂.

Прислать комментарий Решение

Задача 56951 (#05.101)

Тема:

[

Подерный (педальный) треугольник

]

Сложность: 5
Классы: 9

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P. Опустив из нее перпендикуляры PA₁, PB₁ и PC₁ на стороны, получим $\triangle$ A₁B₁C₁. Проделав для него ту же операцию, получим $\triangle$ A₂B₂C₂, а затем $\triangle$ A₃B₃C₃. Докажите, что $\triangle$ A₃B₃C₃ $\sim$ $\triangle$ ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 1956]