Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]

Задача 56703 (#03.045)

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Окружность, касающаяся сторон AC и BC треугольника ABC в точках M и N, касается также его описанной окружности (внутренним образом). Докажите, что середина отрезка MN совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 56704 (#03.046)

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7
Классы: 8,9

Треугольники ABC₁ и ABC₂ вписаны в окружность S, причем хорды AC₂ и BC₁ пересекаются. Окружность S₁ касается хорды AC₂ в точке M₂, хорды BC₁ в точке N₁ и окружности S. Докажите, что центры вписанных окружностей треугольников ABC₁ и ABC₂ лежат на отрезке M₂N₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 56705 (#03.047B)

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 8
Классы: 9,10

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; $\varphi$ = $\angle$ ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg² ${\frac{\varphi }{2}}$ . Докажите также, что r = r₁cos² ${\frac{\varphi }{2}}$ + r₂sin² ${\frac{\varphi }{2}}$ (Тебо).

Прислать комментарий Решение

Задача 56706 (#03.047B1)

Тема:

[

Окружности, вписанные в сегмент

]

Сложность: 7+
Классы: 9,10

Четырехугольник ABCD вписанный. Пусть r_a, r_b, r_c, r_d — радиусы вписанных окружностей треугольников BCD, ACD, ABD, ABC. Докажите, что r_a + r_c = r_b + r_d.

Прислать комментарий Решение

Задача 56707 (#03.047)

Тема:

[

Окружности (прочее)

]

Сложность: 2
Классы: 8,9

Две окружности имеют радиусы R₁ и R₂, а расстояние между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности ортогональны тогда и только тогда, когда d² = R₁² + R₂².

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 86]