Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 470]
Задача
73687
(#М152)
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
Пусть a, b, m, n – натуральные числа, причём числа a и b взаимно просты и a > 1.
Докажите, что если am + bm делится на an + bn, то m делится на n.
Задача
73688
(#М153)
|
|
Сложность: 7+
|
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:
**** – ****.
Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что
а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;
б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.
Задача
73689
(#М154)
|
|
Сложность: 6+
Классы: 8,9,10
|
На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:
- некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
- некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.
Задача
73692
(#М157)
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Сумма n положительных чисел x1, x2, x3, ..., xn равна 1.
Пусть S – наибольшее из чисел 
Найдите наименьшее возможное значение S. При каких значениях x1, x2, ..., xn оно достигается?
Задача
73693
(#М158)
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
Треугольная таблица строится по следующему правилу: в верхней её строке написано одно только натуральное число
a > 1, а далее под каждым
числом k слева пишем число
k2 , а
справа — число
k + 1. Докажите, что в каждой строке таблицы все числа разные.
Например, при a = 2 вторая строка состоит из чисел 4 и 3, третья — из чисел 16, 5, 9 и 4, четвёртая — из чисел 256, 17, 25, 6, 81, 10, 16 и 5.
Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 470]
Фильтр
