Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 470]

Задача 73680 (#М145)

Темы:	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Средние величины	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Хозяин обещает работнику платить в среднем рублей в день. Для этого каждый день он платит 1 или 2 рубля с таким расчётом, чтобы для любого натурального n выплаченная за первые n дней сумма была натуральным числом, наиболее близким к Вот величины первых пяти выплат: 1, 2, 1, 2, 1. Докажите, что последовательность выплат непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73681 (#М146)

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Раскраски	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Романов А.

а) В вершинах правильного семиугольника расставлены чёрные и белые фишки. Докажите, что найдутся три фишки одного цвета,
лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

б) Верно ли аналогичное утверждение для восьмиугольника?

в) Для каких правильных n-угольников аналогичное верно, а для каких – нет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73683 (#М148)

Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Лопшиц А.Л.

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73685 (#М150)

Темы:	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Целочисленные решетки	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Алексеев В.Б.

P и Q – подмножества множества выражений вида (a₁, a₂, ..., a_n), где a_i – натуральные числа, не превосходящие данного натурального числа k (таких выражений всего kⁿ). Для каждого элемента (p₁, ..., p_n) множества P и каждого элемента (q₁, ..., q_n) множества Q существует хотя бы один такой номер m, что p_m = q_m. Докажите, что хотя бы одно из множеств P и Q состоит не более чем из k^n–1 элементов для
а) k = 2 и любого натурального n;
б) n = 2 и любого натурального k > 1;
в) произвольного натурального n и произвольного натурального k > 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73686 (#М151)

Темы:	[	Отношения площадей (прочее)	]
	[	Средняя линия трапеции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Автор: Ивлев Б.М.

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 470]