Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 1957]      

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий

Решение

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.

Прислать комментарий

Решение

a₁, a₂, ..., a_n  – такие числа, что  a₁ + a₂ + ... + a_n = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a₁a₂ + a₁a₃ + ... + a_n–1a_n ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения a_ia_j,  i ≠ j).

Прислать комментарий

Решение

Даны выпуклый четырёхугольник ABCD площади s и точка M внутри него. Точки P, Q, R, S симметричны точке M относительно середин сторон четырёхугольника ABCD. Найти площадь четырёхугольника PQRS.

Прислать комментарий

Решение

a, b, c – любые положительные числа. Доказать, что   + + ≥ ³/₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 1957]