Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98027

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Метод спуска ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98028

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дано натуральное число n. Рассматриваются такие тройки различных натуральных чисел  (a, b, c),  что  a + b + c = n.  Возьмём наибольшую возможную такую систему троек, что никакие две тройки системы не имеют общих элементов. Число троек в этой системе обозначим через K(n). Докажите, что
  а)  K(n) > ⁿ/₆ – 1;
  б)  K(n) < ²ⁿ/₉.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98036

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Индукция (прочее) ] [ Задачи с ограничениями ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Рассмотрим все возможные наборы чисел из множества  {1, 2, 3, ..., n},  не содержащие двух соседних чисел.
Докажите, что сумма квадратов произведений чисел в этих наборах равна  (n + 1)! – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98038

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Ряды с неотрицательными членами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями  d₁, d₂, d₃, ... .  Может ли случиться, что при этом сумма   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dk   не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
  а) общее число прогрессий конечно;
  б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98045

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Индукция в геометрии ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На какое максимальное число частей могут разбить координатную плоскость xOy графики 100 квадратных трехчлёнов вида
y = a_nx² + b_nx + c_n  (n = 1, 2, ..., 100)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 215 216 217 218 219 220 221 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями