Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66752

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66820

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Даны целые числа $a_{1}, ..., a_{1000}$. По кругу записаны их квадраты $a_{1}^2, ..., a_{1000}^2$. Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на $41^2$.
Верно ли, что каждое из чисел $a_{1}, ..., a_{1000}$ делится на 41?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66821

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку m×n×k, где $m, n, k$ – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66824

Тема:   [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Любое число $x$, написанное на доске, разрешается заменить либо на  3$x$ + 1,  либо на  [^x/₂].
Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66827

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Назовём сложностью целого числа  $n$ > 1  количество сомножителей в его разложении на простые. Для каких $n$ все числа между $n$ и 2$n$ имеют сложность
  а) не больше, чем у $n$;
  б) меньше, чем у $n$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 108 109 110 111 112 113 114 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями