Страница: << 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108200

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Окружность с центром O вписана в четырёхугольник ABCD и касается его непараллельных сторон BC и AD в точках E и F соответственно. Пусть прямая AO и отрезок EF пересекаются в точке K , прямая DO и отрезок EF – в точке N , а прямые BK и CN – в точке M . Докажите, что точки O , K , M и N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108207

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть A0 – середина стороны BC треугольника ABC , а A' – точка касания с этой стороной вписанной окружности. Построим окружность с центром в точке A0 и проходящую через A' . На других сторонах построим аналогичные окружности. Докажите, что если окружность касается описанной окружности в точке дуги BC , не содержащей A , то ещё одна из построенных окружностей касается описанной.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108210

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC медианы AA' , BB' и CC' продлили до пересечения с описанной окружностью в точках A0 , B0 и C0 соответственно. Известно, что точка M пересечения медиан треугольника ABC делит отрезок AA0 пополам. Докажите, что треугольник A0B0C0 – равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108219

Темы:   [ Пятиугольники ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Внутри выпуклого пятиугольника выбраны две точки. Докажите, что можно выбрать четырёхугольник с вершинами в вершинах пятиугольника так, что внутрь него попадут обе выбранные точки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108224

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Дан параллелограмм ABCD  (AB < BC).  Докажите, что описанные окружности треугольников APQ для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что  CP = CQ,  имеют общую точку, отличную от A.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1219 1220 1221 1222 1223 1224 1225 >> [Всего задач: 7526]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями