Страница:
<< 117 118 119 120
121 122 123 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Числовое множество
M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково,
что для любых трех различных элементов
a,b,c из
M
число
a2
+bc рационально.
Докажите, что можно выбрать такое натуральное
n , что для любого
a
из
M число
a
рационально.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Последовательность натуральных чисел an строится следующим образом: a0 – некоторое натуральное число; an+1 = ⅕ an, если an делится на 5;
an+1 = [
an], если an не делится на 5. Докажите, что начиная с некоторого члена последовательность an возрастает.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1.
Докажите неравенство: 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На сторонах AP и PD остроугольного треугольника APD выбраны соответственно точки B и C. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q. Точки H1 и H2 являются ортоцентрами треугольников APD и BPC соответственно. Докажите, что если прямая H1H2 проходит через точку X пересечения описанных окружностей треугольников ABQ и CDQ, то она проходит и через точку Y пересечения описанных окружностей треугольников BQC и AQD.
(X ≠ Q, Y ≠ Q.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство 
Страница:
<< 117 118 119 120
121 122 123 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
