Страница:
<< 115 116 117 118
119 120 121 >> [Всего задач: 1124]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Через вершину A тетраэдра ABCD проведена плоскость, касательная
к описанной около него сфере. Докажите, что линии пересечения этой плоскости
с плоскостями граней ABC, ACD и ABD образуют шесть равных углов тогда и только тогда, когда AB·CD = AC·BD = AD·BC.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
На столе стоят три пустых банки из-под меда. Винни-Пух, Кролик и
Пятачок по очереди кладут по одному ореху в одну из банок. Их порядковые
номера до начала игры определяются жребием. При этом
Винни может добавлять орех только в первую или вторую банку, Кролик –
только во вторую или третью, а Пятачок – в первую или третью.
Тот, после
чьего хода в какой-нибудь банке оказалось ровно 1999 орехов,
проигрывает.
Докажите, что Винни-Пух и Пятачок могут, договорившись, играть
так, чтобы Кролик проиграл.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Для некоторых положительных чисел x и y выполняется неравенство
x² + y³ ≥ x³ + y4. Докажите, что x³ + y³ ≤ 2.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены беспосадочными
рейсами одной из N авиакомпаний, причём из каждого города есть ровно по
одному рейсу каждой из авиакомпаний. Известно, что из каждого города можно
долететь до любого другого (возможно, с пересадками). Из-за финансового кризиса был закрыт N – 1 рейс, но ни в одной из авиакомпаний не закрыли более одного рейса. Докажите, что по-прежнему из каждого города можно
долететь до любого другого.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Докажите неравенство sinn2x + (sinnx – cosnx)² ≤ 1.
Страница:
<< 115 116 117 118
119 120 121 >> [Всего задач: 1124]
Фильтр
