Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65375

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках A_B и A_C соответственно. Обозначим через O_a центр описанной окружности треугольника AA_BA_C. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что описанная окружность треугольника O_aO_bO_c касается описанной окружности исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65800

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Радикальная ось ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Проективная геометрия (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB₁ – его симедиана, луч BB₁ вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC, а луч BH_B вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки H_A, H_C, T, L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65802

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Изогональное сопряжение ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65803

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65809

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Центр поворотной гомотетии ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

BB₁ и CC₁ – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB₁C₁ в точках B₁ и C₁ пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB₁C₁ лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 157 158 159 160 161 162 163 >> [Всего задач: 915]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями