Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64913  (#11)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки подобия ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C₁. Точки A₁, B₁ определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A₁B₁C₁ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64914  (#12)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Синусы и косинусы углов треугольника ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, проходящая через O и параллельная BC, пересекает AB и AC в точках P и Q соответственно. Известно, что сумма расстояний от точки O до сторон AB и AC равна OA. Докажите, что сумма отрезков PB и QC равна PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64915  (#13)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64916  (#14)

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Отношение площадей треугольников с общим углом ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

В выпуклом четырёхугольнике ABCD  O – точка пересечения диагоналей, а M – середина стороны BC. Прямые MO и AD пересекаются в точке E. Докажите, что  AE : ED = S_ABO : S_CDO.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64917  (#15)

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Прямая Симсона ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассматриваются прямые l, обладающие следующим свойством: три прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. Докажите, что все такие прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями