ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 65800  (#12)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Радикальная ось ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC, BB1 – его симедиана, луч BB1 вторично пересекает описанную окружность Ω в точке L. Пусть HA, HB, HC – основания высот треугольника ABC, а луч BHB вторично пересекает Ω в точке T. Докажите, что точки HA, HC, T, L лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65801  (#13)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках La, Lb, Lc. Перпендикуляр, восставленный из точки La к BC, пересекает AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Точка Oa – центр описанной окружности треугольника AAbAc. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что Oa, Ob и Oc лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65802  (#14)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Осевая и скользящая симметрии (прочее) ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A1. Аналогично определяются точки B1 и C1.
  а) Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A2 – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA1 и AA2 симметричны относительно биссектрисы угла A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65803  (#15)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
Прислать комментарий     Решение


Задача 65809  (#16)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Центр поворотной гомотетии ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

BB1 и CC1 – высоты треугольника ABC. Касательные к описанной окружности треугольника AB1C1 в точках B1 и C1 пересекают прямые AB и AC в точках M и N соответственно. Докажите, что вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AMN и AB1C1 лежит на прямой Эйлера треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .