Несколько (конечное число) точек плоскости окрашены в четыре цвета, причём есть точки каждого цвета. Никакие три из этих точек не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся три разных (возможно, пересекающихся) треугольника, каждый из которых имеет вершины трёх разных цветов и не содержит внутри себя окрашенных точек.

   Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 569]      

В остроугольном треугольнике $ABC$ $O$ – центр описанной окружности, $BM$ – медиана, $BH$ – высота. Окружности $AOB$ и $BHC$ повторно пересекаются в точке $E$, а окружности $AHB$ и $BOC$ – в точке $F$. Докажите, что $ME=MF$.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что композиция двух поворотов на углы, в сумме не кратные 360^o , является поворотом.
В какой точке находится его центр и чему равен угол поворота?
Исследуйте также случай, когда сумма углов поворотов кратна 360^o .

Прислать комментарий

Решение

Впишите в данный остроугольный треугольник $ABC$ треугольник наименьшего периметра.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Прислать комментарий

Решение

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром O . Точки C' , D' симметричны ортоцентрам треугольников ABD и ABC относительно O . Докажите, что если прямые BD и BD' симметричны относительно биссектрисы угла B , то прямые AC и AC' симметричны относительно биссектрисы угла A .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 569]