Каталог по темам

Задачи

Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 829]

Задача 109499

Темы:	[	Точка Торричелли	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115900

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Белухов Н.

Дан правильный 17-угольник A₁... A₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми A₁A₄, A₂A₁₀, A₁₃A₁₄ и A₂A₃, A₄A₆, A₁₄A₁₅, равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65379

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Яковлев И.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁ и отмечены точки A₂, B₂, C₂, в которых вневписанные окружности касаются сторон BC, CA, AB соответственно. Прямая B₁C₁ касается вписанной окружности треугольника. Докажите, что точка A₁ лежит на описанной окружности треугольника A₂B₂C₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116653

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Кунгожин М.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Пусть N – середина дуги BAC его описанной окружности, а M – середина стороны BC. Обозначим через I₁ и I₂ центры вписанных окружностей треугольников ABM и ACM соответственно. Докажите, что точки I₁, I₂, A, N лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65518

Темы:	[	Перпендикулярные прямые	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что KX = KN. Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 159 160 161 162 163 164 165 >> [Всего задач: 829]