Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Замечательные точки и линии в треугольнике >> Средняя линия треугольника
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Даны отрезки a и b. Постройте такой отрезок x, что

$\displaystyle \root$4$\displaystyle \of$x = $\displaystyle \root$4$\displaystyle \of$a + $\displaystyle \root$4$\displaystyle \of$b.

Вниз   Решение

Автор: Фольклор

p(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Известно, что для некоторых целых a и b выполняется равенство:  p(a) – p(b) = 1.
Докажите, что a и b различаются на 1.

ВверхВниз   Решение

На какое наименьшее число тетраэдров можно разбить куб?

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно выбрать четырёх человек на четыре различные должности, если имеется девять кандидатов на эти должности?

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями

x0 = 1,        xn + 1 = axn    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что прямая, содержащая среднюю линию треугольника, параллельна стороне треугольника, а средняя линия треугольника равна половине этой стороны.

ВверхВниз   Решение

Можно ли разбить правильный треугольник на миллион многоугольников так, чтобы никакая прямая не пересекала более сорока из этих многоугольников?

Мы говорим, что прямая пересекает многоугольник, если она имеет с ним хотя бы одну общую точку.

ВверхВниз   Решение

Автор: Бона М.

В турнире участвуют 2m команд. В первом туре встретились некоторые m пар команд, во втором – другие m пар.
Докажите, что после этого можно выбрать m команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

ВверхВниз   Решение

Углы при основании AD трапеции ABCD равны 2$ \alpha$ и 2$ \beta$. Докажите, что трапеция описанная тогда и только тогда, когда $ {\frac{BC}{AD}}$ = tg$ \alpha$tg$ \beta$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Полянский А.

Из вершины A параллелограмма ABCD опущены высоты AM на BC и AN на CD. P – точка пересечения BN и DM. Докажите, что прямые AP и MN перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

Как в треугольнике ABC провести ломаную BDEFG (см. рисунок), чтобы все пять полученных треугольников имели одинаковые площади?

ВверхВниз   Решение

В окружности, радиус которой 1,4, определите расстояние от центра до хорды, если она отсекает дугу в 120°.

ВверхВниз   Решение

В окружность радиуса 5 вписан четырёхугольник ABCD, у которого угол D прямой,  AB : BC = 3 : 4.
Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если его площадь равна 44.

ВверхВниз   Решение

Две стороны треугольника равны 2$ \sqrt{2}$ и 3, площадь треугольника равна 3. Найдите третью сторону.

ВверхВниз   Решение

Через середины M и N рёбер соответственно AA1 и C1D1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 проведена плоскость параллельно диагонали BD основания. Постройте сечение параллелепипеда этой плоскостью. В каком отношении она делит диагональ A1C ?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 330]      

  с решениями  

Задача 32886

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Блинков Ю.А.

Треугольник ABC равнобедренный  (AB = BC).  Точка M – середина стороны AB, точка P – середина отрезка CM, точка N делит сторону BC в отношении  3 : 1  (считая от вершины B). Докажите, что  AP = MN.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53497

Темы:   [ Средняя линия трапеции ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Основания трапеции равны a и b  (a > b).  Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53645

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через точку на стороне треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, до пересечения с третьей стороной треугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная первой стороне треугольника и т.д. Докажите, что
  а) если исходная точка сопадает с серединой стороны треугольника, то четвёртая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной;
  б) если исходная точка отлична от середины стороны треугольника, то седьмая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53689

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Два равносторонних треугольника ABC и CDE расположены по одну сторону от прямой AE и имеют единственную общую точку C. Пусть M, N и K – середины отрезков BD, AC и CE соответственно. Докажите, что треугольник MNK равносторонний.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53859

Темы:   [ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Через точку P, лежащую на медиане CC1 треугольника ABC, проведены прямые AA1 и BB1 (точки A1 и B1 лежат на сторонах BC и CA соответственно).
Докажите, что  A1B1 || AB.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 330]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .