Каталог по темам

Задачи

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 569]

Задача 109647

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Задача 115772

Темы:	[	Четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции симметрий	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Два выпуклых четырёхугольника таковы, что стороны каждого лежат на серединных перпендикулярах к сторонам другого. Найдите их углы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115868

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

В треугольнике ABC провели биссектрису CL. Точки A₁ и B₁ симметричны точкам A и B относительно прямой CL, A₂ и B₂ симметричны точкам A и B относительно точки L. Пусть O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AB₁B₂ и BA₁A₂. Докажите, что углы O₁CA и O₂CB равны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115902

Темы:	[	Две пары подобных треугольников	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Акопян А.В.

В треугольнике ABC AB – BC = . Пусть M – середина стороны AC, а BN – биссектриса. Докажите, что ∠BMC + ∠BNC = 90°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116897

Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Штейнгарц Л.

Квадратный лист бумаги согнули по прямой так, что одна из вершин квадрата оказалась на несмежной стороне. При этом образовалось три треугольника. В эти треугольники вписали окружности (см. рис.). Докажите, что радиус одной из этих окружностей равен сумме радиусов двух других.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 569]