Положительные числа A, B, C и D таковы, что система уравнений
    x² + y² = A,
    |x| + |y| = B
имеет m решений, а система уравнений
    x² + y² + z² = C,
    |x| + |y| + |z| = D
имеет n решений. Известно, что  m > n > 1.  Найдите m и n.

   Решение

Грани кубика занумерованы 1, 2, 3, 4, 5, 6, так, что сумма номеров на противоположных гранях кубика равна 7. Дана шахматная доска 50×50 клеток, каждая клетка равна грани кубика. Кубик перекатывается из левого нижнего угла доски в правый верхний. При перекатывании он каждый раз переваливается через свое ребро на соседнюю клетку, при этом разрешается двигаться только вправо или вверх (нельзя двигаться влево или вниз). На каждой из клеток на пути кубика имеется номер грани, которая опиралась на эту клетку. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех написанных чисел? Какое наименьшее значение она может принимать?

   Решение

Доказать, что у всякого выпуклого многогранника найдутся две грани с одинаковым числом сторон.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]      

Докажите, что  16Rr - 5r² p² 4R² + 4Rr + 3r².

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что  r_a² + r_b² + r_c² 27R²/4.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная и вневписанная окружности треугольника $ABC$ касаются отрезка $AC$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Прямые $BP$ и $BQ$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $P'$ и $Q'$ соответственно. Докажите, что $PP' > QQ'$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $BE$ и $CF$ – высоты, внутренние биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $I$, а внешние в точке $J$. Докажите, что $IJ > EF$.

Прислать комментарий

Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен . Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]