Каталог по темам

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 420]

Задача 61288

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Выпуклость и вогнутость	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть |x₁| ≤ 1 и |x₂| ≤ 1. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 65620

Темы:	[	Числовые последовательности (прочее)	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Целая и дробная части. Принцип Архимеда	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

У чисел 1000², 1001², 1002², ... отбрасывают по две последние цифры. Сколько первых членов полученной последовательности образуют арифметическую прогрессию?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73609

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Характеристические свойства и рекуррентные соотношения	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – ^a/₂)².

Прислать комментарий

Решение

Задача 78056

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Доказать, что если ^p/_q – несократимая рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) с целыми коэффициентами, то p – kq есть делитель числа f(k) при любом целом k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98182

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Итерации	]
	[	Разрывы функций	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Существует ли кусочно-линейная функция f, определённая на отрезке [–1, 1] (включая концы), для которой f(f(x))= – x при всех x?
(Функция называется кусочно-линейной, если её график есть объединение конечного числа точек и интервалов прямой; она может быть разрывной.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 420]