В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60°.
Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.

   Решение

Написать модифицированный вариант алгоритма Евклида, использующий соотношения НОД(a,b) = НОД(a mod b, b) при a≥b, НОД(a,b) = НОД(a, b mod a) при b≥a.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L — прямые, а угол при вершине M равен arctg3. Найдите площадь четырёхугольника, если известно, что сторона NL вдвое больше стороны LQ и на 5 больше стороны NM.

   Решение

Известно, что уравнение  x² + 5bx + c = 0  имеет корни x₁ и x₂,  x₁ ≠ x₂,  а некоторое число является корнем уравнения  y² + 2x₁y + 2x₂ = 0  и корнем уравнения  z² + 2x₂z + 2x₁ = 0.  Найти b.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]      

Пусть точки A^*, B^*, C^*, D^* являются образами точек A, B, C, D при инверсии. Докажите, что:
а) : = : ;
б) (DA, AC) - (DB, BC) = (D^*B^*, B^*C^*) - (D^*A^*, A^*C^*).

Прислать комментарий

Решение

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC угол A наименьший. Через вершину A проведена прямая, пересекающая отрезок BC. Она пересекает описанную окружность в точке X, а серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB — в точках B₁ и C₁. Прямые BC₁ и CB₁ пересекаются в точке Y. Докажите, что BY + CY = AX.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если a, b, c и d — длины последовательных сторон выпуклого четырехугольника ABCD, а m и n — длины его диагоналей, то m²n² = a²c² + b²d² - 2abcd cos(A + C) (Бретшнейдер).

Прислать комментарий

Решение

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A₁ (соответственно B₁, C₁) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A₂ (соответственно B₂, C₂) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]