Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны:

1) все грани равновелики;

2) каждое ребро равно противоположному;

3) все грани равны;

4) центры описанной и вписанной сфер совпадают;

5) суммы углов при каждой вершине равны;

6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180^o ;

7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии;

8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности;

9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник;

10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный;

11) высоты тетраэдра равны;

12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы;

13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы;

14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180^o ;

15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180^o и два противоположных ребра равны.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66684

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Дан вписанный $n$-угольник. Оказалось что середины всех его сторон лежат на одной окружности. Стороны $n$-угольника отсекают от этой окружности $n$ дуг, лежащих вне $n$-угольника. Докажите, что эти дуги можно покрасить в красный и синий цвет так, чтобы сумма длин красных дуг равнялась сумме длин синих.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66678

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $BL$ и $CN$ – биссектрисы треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников $ABL$ и $CDN$, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через середину дуги $AD$, не содержащей точку $B$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67237

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности $\omega_1$ и $\omega_2$, пересекающиеся в точке $A$, и прямая $a$. Пусть $BC$ – произвольная хорда окружности $\omega_2$, параллельная $a$, а $E$ и $F$ – вторые точки пересечения прямых $AB$ и $AC$ с $\omega_1$. Найдите геометрическое место точек пересечения прямых $BC$ и $EF$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79267

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Ломаные ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

На арене круглого цирка радиуса 10 метров бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 километров.
Доказать, что сумма всех углов, на которые лев поворачивал, не меньше 2998 радиан.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35695

Темы:   [ Теорема синусов ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 2+ Классы: 9

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями