Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 146]

Задача 67568

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Проективная геометрия (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Щербатов Я.

Даны окружности $\Omega$ и $\omega_a$, являющиеся соответственно описанной и $A-$вневписанной для некоторого треугольника $ABC$. Пусть $I_b$, $I_c$ – центры двух других вневписанных окружностей, а $A_b$, $A_c$ – точки касания продолжений сторон $AB$, $AC$ с $\omega_a$. Докажите, что точка пересечения прямых $A_bI_b$ и $A_cI_c$ не зависит от треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 108226

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Пусть A', B' и C' – точки касания вневписанных окружностей с соответствующими сторонами треугольника ABC. Описанные окружности треугольников A'B'C, AB'C' и A'BC' пересекают второй раз описанную окружность треугольника ABC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ подобен треугольнику, образованному точками касания вписанной окружности треугольника с его сторонами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66950

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Проективные преобразования плоскости	]
	[	Композиция преобразований плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Agarwal P.

Пусть $\gamma_A$, $\gamma_B$, $\gamma_C$ – вневписанные окружности треугольника $ABC$, касающиеся сторон $BC$, $CA$, $AB$ соответственно. Обозначим через $l_A$ общую внешнюю касательную окружностей $\gamma_B$ и $\gamma_C$, отличную от $BC$. Аналогично определим $l_B$, $l_C$. Из точки $P$, лежащей на $l_A$, проведем отличную от $l_A$ касательную к $\gamma_B$ и найдем точку $X$ ее пересечения с $l_C$. Аналогично найдем точку $Y$ пересечения касательной из $P$ к $\gamma_C$ с $l_B$. Докажите, что прямая $XY$ касается $\gamma_A$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67185

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Бродский Д.Ю.

Периметр треугольника $ABC$ равен 1. Окружность $\omega$ касается стороны $BC$, продолжения стороны $AB$ в точке $P$ и продолжения стороны $AC$ в точке $Q$. Прямая, проходящая через середины $AB$ и $AC$, пересекает описанную окружность треугольника $APQ$ в точках $X$ и $Y$. Найдите длину отрезка $XY$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67381

Темы:	[	Вневписанные окружности	]
Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Галяпин Г.

Общие касательные к описанной и вневписанной окружностям треугольника $ABC$ пересекают прямые $BC$, $CA$, $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $A_2$, $B_2$, $C_2$ соответственно. Треугольник $\Delta_1$ образован прямыми $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$, а треугольник $\Delta_2$ – прямыми $AA_2$, $BB_2$ и $CC_2$. Докажите, что радиусы описанных окружностей этих треугольников равны.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 146]