Версия для печати
Убрать все задачи

---

Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)

   Решение

---

На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A₁, A₂, ..., A_m и B₁, B₂, ..., B_n соответственно и проведены все отрезки вида A_iB_j
(1 ≤ i ≤ m,  1 ≤ j ≤ n).  Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?

   Решение

Страница: << 266 267 268 269 270 271 272 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73871

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Произвольные многоугольники ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107999

Темы:   [ Итерации ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Четность и нечетность ] [ Разрывы функций ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

а) Известно, что область определения функции  f(x)  – отрезок  [–1, 1]  и  f(f(x)) = – x  при всех x, а её график является объединением конечного числа точек и интервалов. Нарисовать график такой функции f(x).

б) Можно ли это сделать, если область определения функции – интервал  (–1, 1)?  Вся числовая ось?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111267

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Таблицы и турниры (прочее) ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

В каждой клетке шахматной доски сидят по два таракана. В некоторый момент времени каждый таракан переползает на соседнюю (по стороне) клетку, причём тараканы, сидевшие в одной клетке, переползают в разные клетки. Какое наибольшее количество клеток доски может после этого остаться свободным?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111727

Темы:   [ Свойства сечений ] [ Куб ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Комбинаторная геометрия (прочее) ] [ Пирамида (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

а) Все вершины пирамиды лежат на гранях куба, но не на его ребрах, причем на каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида? б) Все вершины пирамиды лежат в плоскостях граней куба, но не на прямых, содержащих его ребра, причем в плоскости каждой грани лежит хотя бы одна вершина. Какое наибольшее количество вершин может иметь пирамида?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78291

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ] [ Системы точек ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

На плоскости даны 25 точек; известно, что из любых трёх точек можно выбрать две, расстояние между которыми меньше 1. Доказать, что среди данных точек найдутся 13, лежащие в круге радиуса 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 266 267 268 269 270 271 272 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями