Версия для печати
Убрать все задачи

---

Вася называет прямоугольник, стороны которого отличаются на 1, почти-квадратом. (Например, прямоугольник со сторонами 5 и 6 – это почти-квадрат.) Существует ли почти-квадрат, который можно разрезать на 2010 почти-квадратов?

   Решение

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98015

Темы:   [ Плоскость, разрезанная прямыми ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

На плоскости дано N прямых  (N > 1),  никакие три из которых не пересекаются в одной точке и никакие две не параллельны. Докажите, что в частях, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно расставить ненулевые целые числа, по модулю не превосходящие N, так, что суммы чисел по любую сторону от любой из данных прямых равны нулю.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98027

Темы:   [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Метод спуска ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98117

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Поворот помогает решить задачу ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Можно ли разрезать плоскость на многоугольники, каждый из которых переходит в себя при повороте на ^360°/₇ вокруг некоторой точки и все стороны которых больше 1 см?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98173

Темы:   [ Системы точек ] [ Четность и нечетность ] [ Инварианты ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9,10

На отрезке  [a, b]  отмечено несколько синих и красных точек. Две точки одного цвета, между которыми нет отмеченных точек, разрешается стереть. Разрешается также отметить две точки одного цвета, красные или синие, так, чтобы между ними не было других отмеченных точек. Первоначально было отмечено две точки: a – синяя и b – красная. Можно ли сделать несколько разрешенных пребразований так, чтобы в результате было опять две отмеченные точки: a – красная и b – синяя?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98287

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 101 102 103 104 105 106 107 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями