- Диаметр, основные свойства (105 задач)
- Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих (236 задач)
- Хорды и секущие (прочее) (49 задач)
Фильтр
Выбрано 22 задачи Убрать все задачи
На хорде KL окружности радиуса 7 взята точка M, KM = 5, ML = 6. Найдите максимальное из расстояний от точки M до точек окружности.
Даны положительные числа x, y, z. Докажите неравенство
Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке P. Перпендикуляры к AC и BD в точках C и D,
соответственно пересекаются в точке Q .
Докажите, что прямые AB и PQ перпендикулярны.
В трапеции ABCD (AD || BC) из точки Е – середины CD провели перпендикуляр EF к прямой AB. Найдите площадь трапеции, если АВ = 5, EF = 4.
Шесть кружков последовательно соединили отрезками. На каждом отрезке записали некоторое число, а в каждом кружке – сумму двух чисел, записанных на входящих в него отрезках. После этого стёрли все числа на отрезках и в одном из кружков (см. рис.). Можно ли найти число, стёртое в кружке?
Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.
По кругу стоят 10 детей разного роста. Время от времени один из них перебегает на другое место (между какими-то двумя детьми). Дети хотят как можно скорее встать по росту в порядке возрастания по часовой стрелке (от самого низкого к самому высокому). Какого наименьшего количества таких перебежек им заведомо хватит, как бы они ни стояли изначально?
Сторона треугольника равна , углы, прилежащие к ней, равны 75° и 60°.
Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и N. Через точку A окружности S1 проведены прямые AM и AN, пересекающие окружность S2 в точках B и C, а через точку D окружности S2 – прямые DM и DN, пересекающие S1 в точках E и F, причём точки A, E, F лежат по одну сторону от прямой MN, а D, B, C – по другую (см. рис.). Докажите, что если AB = DE, то точки A, F, C и D лежат на одной окружности, положение центра которой не зависит от выбора точек A и D.
Убирая детскую комнату к приходу гостей, мама нашла девять носков. Среди каждых четырёх из этих носков хотя бы два принадлежали одному ребёнку, а среди каждых пяти не более трёх имели одного хозяина. Сколько могло быть детей и сколько носков могло принадлежать каждому ребёнку?
Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?
Хорда BC окружности радиуса 12 разделена точкой D на отрезки BD = 8 и DC = 10. Найдите минимальное из расстояний от точки D до точек окружности.
В параллелограмме ABCD опустили перпендикуляр BH на сторону AD. На отрезке BH отметили точку M, равноудалённую от точек C и D. Пусть точка K – середина стороны AB. Докажите, что угол MKD прямой.
В выпуклом четырёхугольнике две стороны равны 1, а другие стороны и обе диагонали не больше 1. Какое максимальное значение может принимать периметр четырёхугольника?
Найти все такие натуральные n, для которых числа 1/n и 1/n+1 выражаются конечными десятичными дробями.
На плоскости отмечены точки с целочисленными координатами. Доказать, что найдётся окружность, внутри которой лежат ровно 1982 отмеченные точки.
Считая известной формулу доказать, что для различных натуральных чисел a1, a2, ..., an справедливо неравенство
Возможно ли равенство для каких-нибудь различных натуральных чисел a1, a2, ..., an?
Даны натуральное число n > 3 и положительные числа x1, x2, ..., xn, произведение которых равно 1.
Докажите неравенство
В выпуклом четырёхугольнике ABCD выполняются равенства: ∠B = ∠C и CD = 2AB. На стороне BC выбрана такая точка X, что ∠BAX = ∠CDA.
Докажите, что AX = AD.
I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Окружность, проходящая через точку I, касается сторон AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что отрезок XY касается вписанной в треугольник ABC окружности.
Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого
угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь
треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4,
BC = , AC = 2.
Задачи Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 401]
Задача 53271 |
|
|
В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны соответственно точки B1 и C1, причём AB1 : AB = 1 : 3 и AC1 : AC = 1 : 2. Через точки A, B1 и C1 проведена окружность. Через точку B1 проведена прямая, пересекающая отрезок AC1 в точке D, а окружность — в точке E. Найдите площадь треугольника B1C1E, если AC1 = 4, AD = 1, DE = 2, а площадь треугольника ABC равна 12.
|
|
Решение |
Задача 53272 |
|
|
В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны соответственно точки A1 и C1, причём A1B : AB = 1 : 2 и BC1 : BC = 1 : 4. Через точки A1, B и C1 проведена окружность. Через точку A1 проведена прямая, пересекающая отрезок BC1 в точке D, а окружность в точке E. Найдите площадь треугольника A1C1E, если BC1 = 6, BD = 2, DE = 3, а площадь треугольника ABC равна 32.
|
|
|
Решение |
Задача 54602 |
|
|
Через точку M пересечения двух окружностей проведите прямую, вторично пересекающую окружности в точках A и B соответственно, причём так, чтобы отрезок AB был равен заданному, а точка M оказалась между A и B (центры окружностей расположены по разные стороны от общей хорды).
|
|
|
Решение |
Задача 55466 |
|
|
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
|
|
|
Решение |
Задача 102304 |
|
|
Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого
угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь
треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4,
BC = , AC = 2.
|
|
Решение |
Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 401]
