Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Окружности
>>
Касательные прямые и касающиеся окружности
>>
Прямые, касающиеся окружностей
Подтемы:
- Признаки и свойства касательной (175 задач)
- Окружность, вписанная в угол (78 задач)
- Две касательные, проведенные из одной точки (285 задач)
- Общая касательная к двум окружностям (115 задач)
- Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть (149 задач)
- Прямые, касающиеся окружностей (прочее) (14 задач)
Фильтр
Выбрано 20 задач Убрать все задачи
Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB·CD = AD·BC. Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не
обозначенным масштабом и график функции
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α
Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N
соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что ∠ILA = ∠IMB, ∠IKC = ∠INB. Докажите, что
AM + KL + CN = AC.
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.
Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, AD = b. Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M1, N1, а вторую – в точках M2, N2. Чему равно отношение M1N1 : M2N2?
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D – точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно касались.
Медиана DM треугольника DEF равна половине стороны EF. Один из углов, образованных при пересечении стороны EF биссектрисой
DL, равен 55°.
Найдите углы треугольника DEF.
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.
По кругу расставлены цифры 1, 2, 3,..., 9 в произвольном порядке. Каждые три цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трёхзначное число. Найдите сумму всех девяти таких чисел. Зависит ли она от порядка, в котором записаны цифры?
Из четырёх цифр, отличных от нуля, составлены два четырёхзначных числа: самое большое и самое маленькое из возможных. Сумма получившихся чисел оказалась равна 11990. Какие числа могли быть составлены?
В параллелограмме ABCD диагональ АС в два раза больше стороны АВ. На стороне BC выбрана точка K так, что ∠KDB = ∠BDA.
Найдите отношение BK : KC.
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Bыпуклый n-угольник P, где n > 3, разрезан на равные треугольники диагоналями, не пересекающимися внутри него.
Каковы возможные значения n, если n-угольник вписанный?
В трапеции KLMN известно, что
LMKN,
KLM =
, LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки
M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь
треугольника AMN.
Задачи Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 772]
Задача 102405 |
|
|
В трапеции KLMN известно, что
LMKN,
KLM =
, LM = l, KN = k, MN = a. Окружность проходит через точки
M и N и касается прямой KL в точке A. Найдите площадь
треугольника AMN.
|
|
Решение |
Задача 102406 |
|
|
Через точку C на окружности проведены касательная, а также хорда BC и хорда DC, BD = c. Расстояния от точек B и D до касательной равны b и d. Найдите площадь треугольника BCD.
|
|
Решение |
Задача 109566 |
|
|
Окружности S1 и S2 касаются внешним образом в точке F . Прямая l касается S1 и S2 в точках A и B соответственно. Прямая, параллельная прямой l , касается S2 в точке C и пересекает S1 в двух точках. Докажите, что точки A , F и C лежат на одной прямой.
|
|
|
Решение |
Задача 52716 |
|
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная, отрезок которой внутри треугольника равен b.
Найдите площадь треугольника, отсечённого этой касательной.
|
|
|
Решение |
Задача 52816 |
|
|
В равносторонний треугольник со стороной a вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что её отрезок внутри треугольника равен b. Найдите площадь треугольника, отсеченного этой касательной.
|
|
|
Решение |
Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 772]
