Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

   Решение

Bнутри окружности зафиксирована точка P. C — произвольная точка окружности, AB – хорда, проходящая через точку P и перпендикулярная отрезку PC. Tочки X и Y являются проекциями точки P на прямые AC и BC. Докажите, что все отрезки XY касаются одной и той же окружности.

   Решение

Даны правильная четырёхугольная пирамида SABCD и цилиндр, центр симметрии которого лежит на прямой SO ( SO – высота пирамиды). Точка F – середина ребра SD , точка E принадлежит апофеме ST грани BSC , причём TE=3ES . Прямоугольник, являющийся одним из осевых сечений цилиндра, расположен так, что две его вершины лежат на прямой AB , а одна из двух других вершин лежит на прямой EF . Найдите объём цилиндра, если SO=3 , AB=1 .

   Решение

Пусть A , B , C и D – четыре точки пространства, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что отрезок, соединяющий середины AB и CD , пересекается с отрезком, соединяющим середины AD и BC . При этом каждый из указанных отрезков делится точкой пересечения пополам.

   Решение

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину A , касается стороны BC и пересекает сторону AC в точке M такой, что AM:MC=4:1 . Найдите длину стороны AB .

   Решение

В правильной треугольной пирамиде ABCD длина бокового ребра равна 12, а угол между основанием ABC и боковой гранью равен . Точки K, M, N – середины рёбер AB, CD, AC соответственно. Точка E лежит на отрезке KM и 2ME = KE. Через точку E проходит плоскость П перпендикулярно отрезку KM. В каком отношении плоскость П делит рёбра пирамиды? Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью П и расстояние от точки N до плоскости П.

   Решение

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

   Решение

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

   Решение

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C – другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает сторону AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
  а) Найдите отношение  AE : EC,  если  AB = 5  и  BC = 9.
  б) Сравните площади треугольников ABC и ABF.

   Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 517]      

На стороне BC остроугольного треугольника ABC  (AB ≠ AC)  как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M,  AD = a,  MD = b,  H – точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.

Прислать комментарий

Решение

Взаимно перпендикулярные диаметр KM и хорда AB некоторой окружности пересекаются в точке N,  KN ≠ NM.  На продолжении отрезка AB за точку A взята точка L,  LN = a,  AN = b.  Найдите расстояние от точки N до точки пересечения высот треугольника KLM.

Прислать комментарий

Решение

Через вершины A и B треугольника ABC проведена окружность, касающаяся прямой BC, а через вершины B и C – другая окружность, касающаяся прямой AB. Продолжение общей хорды BD этих окружностей пересекает сторону AC в точке E, а продолжение хорды AD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
  а) Найдите отношение  AE : EC,  если  AB = 5  и  BC = 9.
  б) Сравните площади треугольников ABC и ABF.

Прислать комментарий

Решение

Дана трапеция ABCD, M – точка пересечения её диагоналей. Известно, что боковая сторона AB перпендикулярна основаниям AD и BC и что в трапецию можно вписать окружность. Найдите площадь треугольника DCM, если радиус этой окружности равен r.

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AD и CE. Построили квадрат ACPQ и прямоугольники CDMN и AEKL, у которых  AL = AB  и
CN = CB.  Докажите, что площадь квадрата ACPQ равна сумме площадей прямоугольников AEKL и CDMN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 517]