- Диаметр, основные свойства (105 задач)
- Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих (236 задач)
- Хорды и секущие (прочее) (49 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Выпуклый четырёхугольник ABCD таков, что AB·CD = AD·BC. Докажите, что –∠BAC + ∠CBD + ∠DCA + ∠ADB = 180°.
На плоскости даны оси координат с одинаковым, но не
обозначенным масштабом и график функции
Как с помощью циркуля и линейки построить касательную к этому графику в заданной его точке, если: а) α
Через точку I пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны AB и BC в точках M и N
соответственно. Треугольник BMN оказался остроугольным. На стороне AC выбраны точки K и L так, что ∠ILA = ∠IMB, ∠IKC = ∠INB. Докажите, что
AM + KL + CN = AC.
Пусть O – центр описанной окружности треугольника ABC. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно, причём 2∠MON = ∠AOC. Докажите, что периметр треугольника MBN не меньше стороны AC.
Дан тетраэдр ABCD. Вписанная в него сфера σ касается грани ABC в точке T. Сфера σ' касается грани ABC в точке T' и продолжений граней ABD, BCD, CAD. Докажите, что прямые AT и AT' симметричны относительно биссектрисы угла BAC.
Дана точка M(x;y). Найдите координаты точки, симметричной точке M относительно: а) оси OX; б) оси OY.
В окружности с центром O проведены две параллельные хорды AB и CD. Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в точке P.
Доказать, что середина отрезка OP равноудалена от прямых AB и CD.
Дан параллелограмм ABCD, в котором AB = a, AD = b. Первая окружность имеет центр в вершине A и проходит через D, вторая имеет центр в C и проходит через D. Произвольная окружность с центром B пересекает первую окружность в точках M1, N1, а вторую – в точках M2, N2. Чему равно отношение M1N1 : M2N2?
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон AB, AC и BC в точках C1, B1 и A1 соответственно. Пусть K – точка на окружности, диаметрально противоположная точке C1, D – точка пересечения прямых B1C1 и A1K. Докажите, что CD = CB1.
На основании BC треугольника ABC найти точку M так, чтобы окружности, вписанные в треугольники ABM и AMC взаимно касались.
Медиана DM треугольника DEF равна половине стороны EF. Один из углов, образованных при пересечении стороны EF биссектрисой
DL, равен 55°.
Найдите углы треугольника DEF.
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.
Задачи Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 401]
Задача 87338 |
|
|
Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,
|
|
Решение |
Задача 87339 |
|
|
Через точку K , расположенную внутри сферы, проведены три
попарно перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сферу в
точках A и A1 , вторая – в точках B и B1 , третья –
в точках C и C1 , причём AA1=22 , CC1=20 , а
точка K делит отрезок BB1 в отношении (9 + ) :
(9 -
) . Найдите радиус сферы, если известно, что точка
K отстоит от центра сферы на расстоянии
.
|
|
|
Решение |
Задача 87340 |
|
|
На сфере радиуса 9 расположены точки L , L1 , M , M1 , N
и N1 . Отрезки LL1 , MM1 и NN1 попарно перпендикулярны
и пересекаются в точке A , отстоящей от центра сферы на расстоянии .
В каком отношении точка A делит отрезок NN1 , если известно, что
LL1=16 , MM1=14 ?
|
|
|
Решение |
Задача 104095 |
|
|
В окружности с центром O проведены три равные хорды AB, CD и PQ (см. рисунок). Докажите, что MOK равен половине угла BLD.
|
|
Решение |
Задача 108146 |
|
На медиане CD треугольника ABC отмечена точка E. Окружность S1, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке A, пересекает сторону AC в точке M. Окружность S2, проходящая через точку E и касающаяся прямой AB в точке B, пересекает сторону BC в точке N. Докажите, что описанная окружность треугольника CMN касается окружностей S1 и S2.
|
|
|
Решение |
Страница: << 47 48 49 50 51 52 53 >> [Всего задач: 401]
