Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник PQR , в котором PQR = 90o , PQ:QR=1:3 . Точка K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1 соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3 .

Вниз   Решение


Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC стороны AB и BC равны между собой, AC = 2, а $ \angle$ACB = 30o. Из вершины A к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике KLM взяты точка A на стороне LM, а точка B – на стороне KM. Отрезки KA и LB пересекаются в точке O,  LA : AM = 3 : 4,  KO : OA = 3 : 2.
Найдите  LO : OB.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

ВверхВниз   Решение


В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 401]      



Задача 65742

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Окружность ω касается сторон угла BAC в точках B и C. Прямая l пересекает отрезки AB и AC в точках K и L соответственно. Окружность ω пересекает l в точках P и Q. Точки S и T выбраны на отрезке BC так, что  KS || AC  и  LT || AB.  Докажите, что точки P, Q, S и T лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65914

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если  AB = c,  AM = m  и  AN = n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107622

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.
Прислать комментарий     Решение


Задача 116823

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
   а) равные многоугольники;
   б) правильные многоугольники?

Прислать комментарий     Решение

Задача 54549

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Гомотетичные окружности ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Найдите геометрическое место середин всех хорд, проходящих через данную точку окружности.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 401]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .