Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Основание прямой призмы PQRP1Q1R1 – треугольник PQR , в котором PQR = 90o , PQ:QR=1:3 . Точка K – середина катета PQ и LM призмы. Ребро AB правильной треугольной пирамиды ABCD ( A – вершина) лежит на прямой PR , вершины C и D – на прямых P1K и QQ1 соответственно. Найдите отношение объёмов призмы и пирамиды, если AB:CD=2:3 .

Вниз   Решение


Даны пять различных положительных чисел, сумма квадратов которых равна сумме всех десяти их попарных произведений.

  а) Докажите, что среди пяти данных чисел найдутся три, которые не могут быть длинами сторон одного треугольника.
  б) Докажите, что таких троек найдется не менее шести (тройки, отличающиеся только порядком чисел, считаем одинаковыми).

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC стороны AB и BC равны между собой, AC = 2, а $ \angle$ACB = 30o. Из вершины A к боковой стороне BC проведены биссектриса AE и медиана AD. Найдите площадь треугольника ADE.

ВверхВниз   Решение


Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно.
Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике KLM взяты точка A на стороне LM, а точка B – на стороне KM. Отрезки KA и LB пересекаются в точке O,  LA : AM = 3 : 4,  KO : OA = 3 : 2.
Найдите  LO : OB.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. На сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что  BF = 2CF,  CE = 2AE  и  ∠DEF = 90°.
Докажите, что  ∠ADE = ∠EDF.

ВверхВниз   Решение


В круге провели несколько (конечное число) различных хорд так, что каждая из них проходит через середину какой – либо другой из проведённых хорд. Докажите, что все эти хорды являются диаметрами круга.

ВверхВниз   Решение


Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых  l1, ..., ln,  проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  l1, ..., ln,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

ВверхВниз   Решение


Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана — Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела вычисляется по формуле: P=σ ST4 , где σ = 5,7· 10-8   , площадь S поверхности измеряется в квадратных метрах, температура T — в градусах Кельвина, а мощность — в ваттах. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S = · 1014   м2 , а излучаемая ею мощность P не менее 0,57· 1015  Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды (в градусах Кельвина).

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ωa касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 330]      



Задача 64803

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Tran Quang Hung

Пусть M – середина хорды AB окружности с центром O. Точка K симметрична M относительно O, P – произвольная точка окружности. Перпендикуляр к AB в точке A и перпендикуляр к PK в точке P пересекаются в точке Q. Точка H – проекция P на AB. Докажите, что прямая QB делит отрезок PH пополам.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108127

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC через O, I обозначены центры описанной и вписанной окружностей соответственно. Вневписанная окружность ωa касается продолжений сторон AB и AC в точках K и M соответственно, а стороны BC – в точке N. Известно, что середина P отрезка KM лежит на описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что точки O, N и I лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108178

Темы:   [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Ломаные ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Дан треугольник ABC. Точка B1 делит пополам длину ломаной ABC (составленной из отрезков AB и BC), точка C1 делит пополам длину ломаной ACB, точка A1 делит пополам длину ломаной CAB. Через точки A1, B1 и C1 проводятся прямые lA, lB и lC, параллельные биссектрисам углов BAC, ABC и ACB соответственно. Докажите, что прямые lA, lB и lC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108194

Темы:   [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Хорда CD окружности с центром O перпендикулярна её диаметру AB, а хорда AE делит пополам радиус OC.
Докажите, что хорда DE делит пополам хорду BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108942

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вневписанная окружность треугольника ABC касается его стороны BC в точке K, а продолжения стороны AB – в точке L. Другая вневписанная окружность касается продолжений сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямые KL и MN пересекаются в точке X. Докажите, что CX – биссектриса угла ACN.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 330]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .