Страница:
<< 56 57 58 59
60 61 62 >> [Всего задач: 329]
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Каждая из окружностей
S1
,
S2
и
S3
касается внешним образом окружности
S (в точках
A1
,
B1
и
C1
соответственно) и двух
сторон треугольника
ABC (см.рис.). Докажите, что
прямые
AA1
,
BB1
и
CC1
пересекаются
в одной точке.
|
|
Сложность: 5+ Классы: 9,10,11
|
Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.
|
|
Сложность: 7 Классы: 10,11
|
Дана сфера
радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ
0, γ
1, ..., γ
n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ0 касается всех окружностей γ
1, ..., γ
n; кроме того, касаются друг друга окружности γ
1 и γ
2, γ
2 и γ
3, ..., γ
n и γ1. При каких
n это возможно? Вычислите соответствующий
радиус r.
|
|
Сложность: 7+ Классы: 9,10,11
|
Окружности
S1,
S2,...,
Sn касаются двух окружностей
R1
и
R2 и, кроме того,
S1 касается
S2 в точке
A1,
S2
касается
S3 в точке
A2...,
Sn - 1 касается
Sn в точке
An - 1. Докажите, что точки
A1,
A2,...,
An - 1
лежат на одной окружности.
Страница:
<< 56 57 58 59
60 61 62 >> [Всего задач: 329]