Пусть H — ортоцентр треугольника ABC , а K — проекция точки H на медиану BM этого треугольника. Докажите, что точки A , K , H и C лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 500]      

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота AH. На сторонах AC и AB отмечены точки B₁ и C₁ соответственно, так, что HA – биссектриса угла B₁HC₁ и четырёхугольник BC₁B₁C – вписанный. Докажите, что B₁ и C₁ – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AB четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что четырёхугольники AMCD и BMDC описаны около окружностей с центрами O₁ и O₂ соответственно. Прямая O₁O₂ отсекает от угла CMD равнобедренный треугольник с вершиной M. Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный.

Прислать комментарий

Решение

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором  ∠DAB = 90°.  Пусть M – середина стороны BC. Оказалось. что  ∠ADC = ∠BAM.
Докажите, что  ∠ADB = ∠CAM.

Прислать комментарий

Решение

Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Точки K , L , M и N – середины сторон соответственно AB , BC , CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD . Докажите, что ортоцентры треугольников AKN , BKL , CLM и DMN являются вершинами параллелограмма.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 54 55 56 57 58 59 60 >> [Всего задач: 500]