Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
В треугольнике провели серединные перпендикуляры к его сторонам и измерили их отрезки, лежащие внутри треугольника.
а) Все три отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равносторонний?
б) Два отрезка оказались равны. Верно ли, что треугольник равнобедренный?
в) Могут ли длины отрезков равняться 4, 4 и 3?
Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами.
В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в
отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна.
Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке
(возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а
зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не
больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не
больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать
обоих зайцев?
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда
окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?
У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?
Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем , б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
На сторонах треугольника ABC внешним образом
построены подобные треугольники: Δ A'BC
Δ B'CA
Δ C'AB . Докажите, что в
треугольниках ABC и A'B'C' точки пересечения
медиан совпадают.
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
На дуге AC описанной окружности правильного треугольника ABC взята точка M, отличная от C, P – середина этой дуги. Пусть N – середина хорды BM, K – основание перпендикуляра, опущенного из точки P на MC. Докажите, что треугольник ANK правильный.
Высоты AA1, BB1, CC1 и DD1 тетраэдра ABCD пересекаются в центре H сферы, вписанной в тетраэдр A1B1C1D1.
Докажите, что тетраэдр ABCD – правильный.
На сторонах AB, AC, BC равностороннего треугольника ABC, сторона которого равна 2, выбрали точки C1, B1, A1 соответственно.
Какое наибольшее значение может принимать сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AB1C1, A1BC1, A1B1C.
Докажите, что если для чисел a, b и c выполняются неравенства
| a - b|| c|,
| b - c|
| a|,
| c - a|
| b|, то одно из
этих чисел равно сумме двух других.
Постройте квадрат ABCD , если даны его вершина A и расстояния от вершин B и D до фиксированной точки плоскости O .
В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
Задачи Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 285]
Задача 107763 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 108089 |
|
|
a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)
|
|
|
Решение |
Задача 109191 |
|
|
В остроугольный треугольник вписана окружность радиуса R. К окружности проведены три касательные, разбивающие треугольник на три прямоугольных треугольника и шестиугольник. Периметр шестиугольника равен Q. Найдите сумму диаметров окружностей, вписанных в прямоугольные треугольники.
|
|
Решение |
Задача 116362 |
|
Стороны треугольника равны 17, 17, 30. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
|
|
|
Решение |
Задача 116363 |
|
Стороны треугольника равны 16, 10, 10. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 285]
