Версия для печати
Убрать все задачи
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
M0(
x0
;y0
;z0)
перпендикулярно ненулевому
вектору
= (
a;b;c)
.
Решение
Найдите производящие функции последовательности многочленов Фибоначчи F(x, z) = F0(x) + F1(x)z + F2(x)z² + ... + Fn(x)zn + ...
и последовательности многочленов Люка
L(x, z) = L0(x) + L1(x)z + L2(x)z² + ... + Ln(x)zn + ...
Определения многочленов Фибоначчи и Люка можно найти в
справочнике.
Решение
При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа x = cos α получаются значения
Что будет, если в многочлены Чебышёва подставить число
x = sin α?
Решение
В кубе
ABCDA1
B1
C1
D1
, где
AA1
,
BB1
,
CC1
и
DD1
– параллельные рёбра, плоскость
P проходит через диагональ
A1
C1
грани
куба и середину ребра
AD . Найдите расстояние от середины ребра
AB до
плоскости
P , если ребро куба равно 3.
Решение
Можно ли множество всех натуральных чисел разбить на непересекающиеся конечные подмножества A1, A2, A3, ... так, чтобы при любом натуральном k сумма
всех чисел, входящих в подмножество Ak, равнялась k + 2013?
Решение
а) Используя формулу Муавра, докажите, что cos nx = Tn(cos x), sin nx = sin x Un–1(cos x), где Tn(z) и Un(z) – многочлены степени n.
При этом по определению U0(z) = 1.
б) Вычислите в явном виде эти многочлены для n = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Многочлены Tn(z) и Un(z) называются многочленами Чебышёва первого и второго рода соответственно.
Решение
Шар радиуса
R касается плоскости
α . Рассмотрим всевозможные
шары радиуса
r , касающиеся данного шара и плоскости
α . Найдите
геометрические места центров этих шаров и точек их касания с
плоскостью и данным шаром.
Решение
Стороны треугольника равны
a,
b,
c. Три шара попарно касаются друг друга и плоскости треугольника в его вершинах. Найдите радиусы шаров.
Решение
Фильтр
