Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD и точка O внутри него. Известно, что  ∠AOB = ∠COD = 120°,  AO = OB  и  CO = OD.  Пусть K, L и M – середины отрезков AB, BC и CD соответственно. Докажите, что
  а)  KL = LM;
  б) треугольник KLM – правильный.

   Решение

---

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110094

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Деление с остатком ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110142

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Докажите, что произвольный треугольник можно разрезать на три многоугольника, один из которых должен быть тупоугольным треугольником, так, чтобы потом сложить из них прямоугольник. (Переворачивать части можно).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110172

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Можно ли во всех точках плоскости с целыми координатами записать натуральные числа так, чтобы три точки с целыми координатами лежали на одной прямой тогда и только тогда, когда записанные в них числа имели общий делитель, больший единицы?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111356

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Квадрат со стороной 1 см разрезан на три выпуклых многоугольника. Может ли случиться, что диаметр каждого из них не превосходит
  а) 1 см;   б) 1,01 см;   в) 1,001 см?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115779

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

На сторонах угла взяты точки A, B. Через середину M отрезка AB проведены две прямые, одна из которых пересекает стороны угла в точках A₁, B₁, другая – в точках A₂ , B₂. Прямые A₁B₂ и A₂B₁ пересекают AB в точках P и Q. Докажите, что M – середина PQ.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 129 130 131 132 133 134 135 >> [Всего задач: 1371]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями