Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если B1C1=6 , AK=6 , а расстояние между прямыми BC и B1C1 равно 1.

   Решение

В турнире по теннису n участников хотят провести парные (двое на двое) матчи так, чтобы каждый из участников имел своим противником каждого из остальных ровно в одном матче. При каких n возможен такой турнир?

   Решение

Точки E и F являются серединами отрезков AB и CD соответственно, а прямая EF перпендикулярна прямым AB и CD . Найдите угол между скрещивающимися прямыми AB и CD , если известно, что угол ACB равен arccos , AB = 4 , CD = 6 и EF = .

   Решение

Через точку A проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке B, а другая пересекает эту окружность в точках C и D так, что точка C лежит на отрезке AD. Найдите AC, BC и радиус окружности, если  

   Решение

В треугольнике ABC точка O является центром описанной окружности. Через вершину B проведена прямая, перпендикулярная AO, пересекающая прямую AC в точке K, а через вершину C проведена прямая, также перпендикулярная AO, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите BC, если  BK = a,  CM = b.

   Решение

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

   Решение

Через центр O окружности Σ , описанной около треугольника ABC , проведена прямая, параллельная BC и пересекающая стороны AB и AC в точках B1 и C1 соответственно. Окружность σ проходит через точки B1 и C1 и касается Σ в точке K . Найдите угол между прямыми AK и BC . Найдите площадь треугольника ABC и радиус окружности Σ , если B1C1=6 , AK=6 , а расстояние между прямыми BC и B1C1 равно 2.

   Решение

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

   Решение

В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно:   AB = 10,  BC = 14,  CD = 11,  AD = 5.   Найдите угол между его диагоналями.

   Решение

На окружности, описанной около прямоугольника ABCD, выбрана точка K. Оказалось, что прямая CK пересекает отрезок AD в такой точке M, что
AM : MD = 2.  Пусть O – центр прямоугольника. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника OKD лежит на описанной окружности треугольника COD.

   Решение

На сторонах AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD даны точки E и H соответственно. Докажите, что если треугольники ABH и CDE равновелики и AE:BE=DH:CH , то прямая BC параллельна прямой AD .

   Решение

Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1:2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника.

   Решение

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

   Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 175]      

Первая окружность с центром в точке A касается сторон угла KOL в точках K и L. Вторая окружность с центром в точке B касается отрезка OK, луча LK и продолжения стороны угла OL за точку O. Известно, что отношение радиуса первой окружности к радиусу второй окружности равно . Найдите отношение отрезков OB и OA.

Прислать комментарий

Решение

Окружность с центром в точке M касается сторон угла AOB в точках A и B. Вторая окружность с центром в точке N касается отрезка OA, луча BA и продолжения стороны угла OB за точку O. Известно, что ON : OM = 5 : 13. Найдите отношение радиусов окружностей.

Прислать комментарий

Решение

На рисунке изображена фигура ABCD . Стороны AB , CD и AD этой фигуры– отрезки (причём AB||CD и AD CD ); BC – дуга окружности, причём любая касательная к этой дуге отсекает от фигуры трапецию или прямоугольник. Объясните, как провести касательную к дуге BC , чтобы отсекаемая фигура имела наибольшую площадь.

Прислать комментарий

Решение

В точках A и B пересечения двух окружностей касательные к этим окружностям взаимно перпендикулярны. Пусть M — произвольная точка на одной из окружностей, лежащая внутри другой окружности. Продолжим отрезки AM и BM до пересечения в точках X и Y с окружностью, содержащей M внутри себя. Докажите, что XY — диаметр этой окружности.

Прислать комментарий

Решение

Окружности σ ₁ и σ ₂ пересекаются в точках A и B . В точке A к σ ₁ и σ ₂ проведены соответственно касательные l₁ и l₂ . Точки T₁ и T₂ выбраны соответственно на окружностях σ ₁ и σ ₂ так, что угловые меры дуг T₁A и AT₂ равны (величина дуги окружности считается по часовой стрелке). Касательная t₁ в точке T₁ к окружности σ ₁ пересекает l₂ в точке M₁ . Аналогично, касательная t₂ в точке T₂ к окружности σ ₂ пересекает l₁ в точке M₂ . Докажите, что середины отрезков M₁M₂ находятся на одной прямой, не зависящей от положения точек T₁ , T₂ .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 175]