При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа  a + b  и  aⁿ + bⁿ  – целые?

   Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 965]      

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a₁x + b₁,  ...,  x² – a_nx + b_n,  причём все 2n чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n  является корнем одного из этих трёхчленов?

Прислать комментарий

Решение

При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа  a + b  и  aⁿ + bⁿ  – целые?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

Прислать комментарий

Решение

Многочлен P(x) удовлетворяет условиям:  P(0) = 1,  (P(x))² = 1 + x + x¹⁰⁰Q(x),  где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x⁹⁹ в многочлене  (P(x) + 1)¹⁰⁰  равен нулю.

Прислать комментарий

Решение

Про приведённый многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  с действительными коэффициентами известно, что при некотором натуральном
m ≥ 2  многочлен    имеет действительные корни, причём только положительные. Обязательно ли сам многочлен P(x) имеет действительные корни, причём только положительные?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 965]